Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление длины дуги кривой Аналитическая геометрия на плоскости Решить систему линейных уравнений Комплексные числа Алгебра и аналитическая геометрия Система линейных уравнений Двойной интеграл Криволинейный интеграл 2-го рода

Математический анализ. Контрольная работа

Система линейных уравнений.

Определения, обозначения.

Def 1. Системой  линейных уравнений с  неизвестными  над полем  называется система выражений вида

  (1)

где . Элементы   называются коэффициентами системы (1),  – ее свободные члены. Если все , то система (1) называется однородной, иначе – неоднородной.

Def 2. Совокупность  элементов поля :  называется решением (1), если после подстановки их вместо  соответственно во все уравнения (1) получаются тождества.

Def 3. Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, если решений нет – несовместной.

Пример.  – несовместная.  – совместная.

Def 4. Два решения  и  являются различными, если нарушается одно из равенств , …, .

Def 5. Если система (1) имеет единственное решение, то она называется определенной, если у системы существует по крайней мере два различных решения, то система называется неопределенной.

Пример.  – неопределенная система.

Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения.

Def 6. Две системы линейных уравнений (СЛУ) с одинаковым числом неизвестных и над одинаковым полем называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

СЛУ удобно записывать с помощью матрицы:

, .

Матрица  называется основной матрицей системы (1) или матрицей системы (1).

Если ввести

, ,

то систему (1) можно переписать в матричном виде

 (2)

Наряду с основной матрицей  удобно рассматривать расширенную матрицу системы (1):

,

2о. Формулы Крамера. Рассмотрим частный случай, когда  и , т.е.  – невырожденная матрица.

Теорема 1. (правило Крамера) Система  уравнений с  неизвестными в случае, когда , имеет решение, причем только одно. Это решение находится по формулам:

, , (3)

где ,  – определитель матрицы, получаемой из  заменой -ого столбца на столбец свободных членов, т.е.

.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Доказательство. Запишем систему в матричном виде (2):

,

т.к.  – квадратная матрица и    определена обратная матрица

.

Тогда умножая (2) слева на , имеем:

, т.е.

 

.

Здесь  определяется через алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы , умноженными на элементы столбца . Видно, что это можно переписать в виде формул (3).

Покажем, что это решение единственно. Пусть  – решение (1), т.е.

Умножим первое уравнение на , второе – на , …, и сложим (здесь ,…, – алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы ). Имеем:

Здесь коэффициенты при  есть сумма произведений элементов -ого столбца матрицы  на алгебраические дополнения к элементам -ого столбца . По теоремам о разложении по «своему» и «чужому» столбцу имеем, что коэффициент при  равен , а остальные – нули, т.е.

   , т.е. те же формулы.

Т.о., (3) дают единственное решение.

Пример.

. , , , , , , .

Замечание. Если рассматривать однородную СЛУ с  и , то формулы Крамера дают единственное нулевое решение.

Следствие. Если однородная система  линейных уравнений с  неизвестными имеет ненулевое решение, то .

3о. Условие совместности СЛУ.

Теорема 2. (теорема Кронекерра-Капелли). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т.е.

.

Доказательство. Очевидно, что .

Для доказательства перепишем систему (1) в виде:

  (4)

где выделены столбцы матрицы , являющиеся элементами .

Необходимость. Если существует решение , то запись (4) означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы . Значит, добавление этого столбца не изменяет числа линейно независимых столбцов  .

Достаточность. Пусть . В этом случае базисный минор матрицы  является базисным и для . Это и означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы , в которых расположен базисный минор, а значит, и всех столбцов матрицы  (остальные можно взять с коэффициентом 0). Очевидно, что коэффициенты этой линейной комбинации и являются решениями системы (1), т.е. есть хотя бы одно решение.

4о. Построение решений СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения. Ниже дается один из возможных способов.

Пусть рассматривается произвольная система  уравнений с  неизвестными и пусть .

Def 7. Число , равное рангу матриц  и , называется рангом системы (1).

Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор матрицы   расположен в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться применением нумерации неизвестных и перестановкой уравнений). Обозначим этот минор :

.

Минор  является базисным и для , поэтому строки матрицы  с номерами , …,  являются линейными комбинациями первых  ее строк (теорема о базисном миноре). Это означает, что уравнения с номерами , …,  представляют собой линейные комбинации первых  уравнений, так что система (1) эквивалентна системе

  (5)

(так как все решения (5) обращаются в тождество все последующие уравнения).

Если , то (5) система с определителем неравным нулю и она (и значит система (1)) имеет единственное решение, определяемое по правилу Крамера. Т.о., справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если , то система (1) имеет единственное решение.

Пусть далее . Оставим в левых частях лишь те слагаемые, коэффициенты которых образуют базисный минор , остальные перенесем вправо.

  (6)

Def 8. Неизвестные называются базисными, а переменные  – свободными.

Свободным переменным можно придать произвольные значения. Тогда базисные неизвестные  определяются по формулам Крамера:

,

Здесь  – определитель, получающийся из  заменой -ого столбца на столбец свободных членов системы (6). Пользуясь свойствами определителя, последнюю формулу можно переписать в виде:

.

Введем обозначения: , .

Тогда имеем

.

Добавляя сюда очевидные равенства: , …, , имеем

  (7)

Формулы (7) дают общее решение системы (1), т. к. выражают все неизвестные  через свободные неизвестные .

Покажем, что формулы (7) содержат все варианты решения системы (1). В самом деле, если ,  – решение СЛУ (1), то  имеют определенные числовые значения Þ подставляя их в систему (1) и повторяя все предыдущие выкладки, получим (7).

Таким образом, доказано.

Теорема 4. Если (1) совместна и ее ранг меньше , то эта система имеет бесконечное множество решений.

Пример.

(I)×(-4)+(II)+(III)=0 Þ rang=2. Возьмем ,  – базисные Þ из (I) и (II) имеем:

.

Многочлены

Поле рациональных дробей Эвристические соображения. В анализе изучаются дробно-рациональные функции вида , где  − многочлены. Мы их будем рассматривать как формальные выражения.

Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Линейное пространство Определение и простейшие свойства Пусть даны поле  с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами  .


Возрастание и убывание функции