Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление длины дуги кривой Аналитическая геометрия на плоскости Решить систему линейных уравнений Комплексные числа Алгебра и аналитическая геометрия Система линейных уравнений Двойной интеграл Криволинейный интеграл 2-го рода

Математический анализ. Контрольная работа

Комплексные числа

Основные понятия

Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица (). Число x=Re(z) называется действительной частью числа z, а число y=Im(z) - мнимой частью числа z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2, равны, если х1=х2; у1=у2.

z=0,  если х=0, у=0.

Числа z=x+iy и  называются сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами

Сложение (вычитание):

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2).

Умножение:

z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+x2y1).

В частности, 

Деление:

Все арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами х1+iy1 и x2+iy2, считая 

Тригонометрическая форма комплексного числа

где

- модуль комплексного числа; j - аргумент комплексного числа (Arg z)

 

Из значений j =Arg z выделяется главное значение arg z, удовлетворяющее условию 

Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение:

[Cos(j1+j2) + iSin(j1+j2)].

Деление:

Возведение в степень. Формула Муавра:  n-целое число.

Извлечение корня:

где к=0,1, 2,…,n-1.

Показательная форма комплексного числа

Воспользуемся формулой Эйлера:

Тогда  - показательная форма комплексного числа.

ТЕМА 10. Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равенство F¢(x) = f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

где С - произвольная постоянная.

В записи  f(x) называется подынтегральной  функцией, а f(x)dx-подынтегральным выражением.

Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны.

Основные свойства неопределенного интеграла

 

 

 

  

где a-некоторое число;

 

Табличные интегралы

 ,

  где n¹-1

 

  где a>0, a¹1;

 

 

 

  где -а<х<а,  а>0;

  а¹0;

   а¹0;

  , а¹0;

 

 

Основные методы интегрирования

а) метод непосредственного интегрирования:

данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

б) метод замены переменной:

пусть x=j(t) - функция дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

в) метод интегрирования по частям:

пусть u=u(x) и v(x) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида  где Р(х) и Q(x)-многочлены.

Рациональная дробь  называется правильной, если степень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду:

  где

многочлен (целая часть при делении), а правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому 

Так как интеграл  вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

ТЕМА 11. Определенный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция y = f(x) задана на отрезке [а,в]. Разобьем отрезок [а,в] на n элементарных отрезков точками х0 = а<х1<х2<<хn=b. В каждом из отрезков разбиения  выберем произвольную точку xi и положим Dxi = xi -xi-1, где i=1,2,…,n. Тогда сумма вида:

  (1) называется интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [а,в].

Пусть существует и конечен предел S интегральной суммы (1) при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка Dxi, не зависящий от способа разбиения отрезка [а,в] на части и способа выбора точек xi на отрезках разбиения. Тогда функция y=f(x) называется интегрируемой на [а,в], а число S - определенным интегралом от f(x) на [а,в] и обозначается

  (2)

Достаточным условием интегрируемости функции является ее непрерывность на рассматриваемом отрезке.

Свойства определенного интеграла

1)  где a - некоторое число.

2)

3)

4)

5)

6) Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в], то найдется такое значение xÎ[а,в], что

 

7) Если функция y=f(x) - четная, то

Если функция y=f(x) - нечетная, то

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [а,в] функции f(x) равен приращению любой ее первообразной F(x) на этом отрезке:

  или (в иной записи)

  .

Замена переменной в определенном интеграле

Если функция j(t) имеет непрерывную производную на отрезке [a;b] и функция f(x) непрерывна в каждой точке х=j(t), где tÎ[a;b], то

Задача Ньютона-Лейбница Понятие неопределенного интеграла связано с понятием первообразной. Найти первообразную – это значит «взять интеграл» Интегрирование – это операция обратная дифференцированию.

Множества. Действительные числа. Множества, подмножества. Основные понятия

Предел функции одой переменной Определение предела Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром в точке x0. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 кроме самой точки x0.

Производные высших порядков Производная от функции f¢(x) называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной) и обозначается


Возрастание и убывание функции