[an error occurred while processing this directive]
Вычисление длины дуги кривой Аналитическая геометрия на плоскости Решить систему линейных уравнений Комплексные числа Алгебра и аналитическая геометрия Система линейных уравнений Двойной интеграл Криволинейный интеграл 2-го рода

Математический анализ. Контрольная работа

Комплексные числа

Основные понятия

Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица (). Число x=Re(z) называется действительной частью числа z, а число y=Im(z) - мнимой частью числа z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2, равны, если х1=х2; у1=у2.

z=0,  если х=0, у=0.

Числа z=x+iy и  называются сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами

Сложение (вычитание):

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2).

Умножение:

z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+x2y1).

В частности, 

Деление:

Все арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами х1+iy1 и x2+iy2, считая 

Тригонометрическая форма комплексного числа

где

- модуль комплексного числа; j - аргумент комплексного числа (Arg z)

 

Из значений j =Arg z выделяется главное значение arg z, удовлетворяющее условию 

Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение:

[Cos(j1+j2) + iSin(j1+j2)].

Деление:

Возведение в степень. Формула Муавра:  n-целое число.

Извлечение корня:

где к=0,1, 2,…,n-1.

Показательная форма комплексного числа

Воспользуемся формулой Эйлера:

Тогда  - показательная форма комплексного числа.

ТЕМА 10. Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равенство F¢(x) = f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

где С - произвольная постоянная.

В записи  f(x) называется подынтегральной  функцией, а f(x)dx-подынтегральным выражением.

Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны.

Основные свойства неопределенного интеграла

 

 

 

  

где a-некоторое число;

 

Табличные интегралы

 ,

  где n¹-1

 

  где a>0, a¹1;

 

 

 

  где -а<х<а,  а>0;

  а¹0;

   а¹0;

  , а¹0;

 

 

Основные методы интегрирования

а) метод непосредственного интегрирования:

данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

б) метод замены переменной:

пусть x=j(t) - функция дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

в) метод интегрирования по частям:

пусть u=u(x) и v(x) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида  где Р(х) и Q(x)-многочлены.

Рациональная дробь  называется правильной, если степень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду:

  где

многочлен (целая часть при делении), а правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому 

Так как интеграл  вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

ТЕМА 11. Определенный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция y = f(x) задана на отрезке [а,в]. Разобьем отрезок [а,в] на n элементарных отрезков точками х0 = а<х1<х2<<хn=b. В каждом из отрезков разбиения  выберем произвольную точку xi и положим Dxi = xi -xi-1, где i=1,2,…,n. Тогда сумма вида:

  (1) называется интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [а,в].

Пусть существует и конечен предел S интегральной суммы (1) при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка Dxi, не зависящий от способа разбиения отрезка [а,в] на части и способа выбора точек xi на отрезках разбиения. Тогда функция y=f(x) называется интегрируемой на [а,в], а число S - определенным интегралом от f(x) на [а,в] и обозначается

  (2)

Достаточным условием интегрируемости функции является ее непрерывность на рассматриваемом отрезке.

Свойства определенного интеграла

1)  где a - некоторое число.

2)

3)

4)

5)

6) Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в], то найдется такое значение xÎ[а,в], что

 

7) Если функция y=f(x) - четная, то

Если функция y=f(x) - нечетная, то

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [а,в] функции f(x) равен приращению любой ее первообразной F(x) на этом отрезке:

  или (в иной записи)

  .

Замена переменной в определенном интеграле

Если функция j(t) имеет непрерывную производную на отрезке [a;b] и функция f(x) непрерывна в каждой точке х=j(t), где tÎ[a;b], то

Задача Ньютона-Лейбница Понятие неопределенного интеграла связано с понятием первообразной. Найти первообразную – это значит «взять интеграл» Интегрирование – это операция обратная дифференцированию.

Множества. Действительные числа. Множества, подмножества. Основные понятия

Предел функции одой переменной Определение предела Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром в точке x0. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 кроме самой точки x0.

Производные высших порядков Производная от функции f¢(x) называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной) и обозначается


Возрастание и убывание функции