[an error occurred while processing this directive]
Вычисление длины дуги кривой Аналитическая геометрия на плоскости Решить систему линейных уравнений Комплексные числа Алгебра и аналитическая геометрия Система линейных уравнений Двойной интеграл Криволинейный интеграл 2-го рода

Математический анализ. Контрольная работа

Варианты контрольных работ по дисциплине.

1 вариант

1. Даны матрицы А и В. Найти А×В, В×А, .

 ; .

2. Вычислить определитель

3. Решить систему линейных уравнений: a) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.

4. Даны векторы а и b. Найти 2a - b, a×b.

  a (-3; 1; 0; 4,3), b (2,1; 3,5; 2; -5).

5. Найти указанные пределы.

а) ;

б) ;

6. Найти производные следующих функций.

 a) ; б) .

7. Найти неопределенные интегралы.

 a) ;

  б) .

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. [an error occurred while processing this directive]

y =x2 – 2x + 2, y = 2 +6x – x2

9. а) Найти общее решение дифференциального уравнения; б) найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.

а) ylny + xy¢ = 0; б) xy¢ - 2y = 2x4; y(1) = 1.

10. Исследовать на сходимость данный ряд.

 

Перечень вопросов к экзамену

Понятие матриц. Размер матрицы. Действия над матрицами.

Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей.

Определители n-мерного порядка. Практический способ вычисления определителей

Обратная матрица и ее вычисление.

Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными с помощью обратной матрицы.

Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера.

Система  уравнений и ее решение методом Гаусса.

Арифметические векторы и действия над ними. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Функции. Область определения функции. Монотонные, ограниченные функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

Предел числовой последовательности.

Предел функции в точке.

Правила нахождения пределов. Вычисление пределов.

Определение производной. Основные правила дифференцирования. 

Таблица производных. Вычисление производных функций (на примерах).

Производная сложной функции

Дифференциал функции. Свойства дифференциала.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов.

Интегрирование методом замены переменной и по частям в неопределенном интеграле.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы.. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям.

Приложения определенного интеграла.

Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма.

Необходимый признак сходимости.

Достаточные признаки сходимости.

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница.

Понятие степенного ряда. Область и радиус сходимости.

Разложение функций в степенной ряд.

Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

1 вариант

Элементарные преобразования над системой линейных уравнений (перечислить).

Перечислить свойства неопределенного интеграла.

Дать определение возрастающей функции.

Найти область определения D(f) функции .

Дана матрица А. Найти алгеброическое дополнение элемента а31.

2 вариант

Какого размера будет матрица С = А*В, если А имеет размер 2*3, а В имеет размер 3*2.

Написать формулы вычисления производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Написать формулу Ньютона-Лейбница (для определенного интеграла).

Найти область оределения D(f), область значений E(f) и построить график функции.

3 случая решения системы линейных уравнений (перечислить).

3 вариант

Дана система линейных уравнений. Напишите эту систему в матричном виде. 

Написать определение предела числовой последовательности  .

Найти производную сложной функции.

Найти область оределения D(f), область значений E(f) и построить график функции

Определитель 3-го порядка (выписать правило вычисления).

4 вариант

Даны матрица А. Найти матрицу АТ.

Перечислить правила нахождения пределов.

Дать определение убывающей функции.

Найти область оределения D(f), область значений E(f) и построить график функции

Матрица. Размер матрицы. ( написать определение)

5 вариант

Какого размера будет матрица С = А*В, если А имеет размер 4*6, а В имеет размер 6*4.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера (написать формулы).

Написать формулу интегрирования по частям (для неопределенного интеграла).

Найти область определения D(f) функции .

Написать определение производной функции в точке.

6 вариант

Дана матрица А. Найти матрицу АТ.

Перечислить свойства определителей.

Перечислить методы интегрирования (для неопределенного интеграла).

Найти область определения D(f) функции .

Дана матрица А. Найти алгеброическое дополнение элемента а21.

7 вариант

Перечислить свойства матриц.

Дать определение функции.

Даны матрицы А и В. Найти А×В

Перечислить свойства неопределенного интеграла.

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (выписать формулу).

8 вариант

Дана матрица А. Найти минор элемента а32.

Найти производную сложной функции. .

Обратная матрица (написать определение).

Написать формулу интегрирования по частям (для неопределенного интеграла).

Определение предела функции в точке.

 

ОСНОВА МАТЕМАТИЧЕСКОГ АНАЛИЗА

Определитель предела последовательности и предела функции

Последовательностью называют бесконечную последовательность чисел, которую можно получать по определенному закону или правилу.

#1

   

 

 

#2  

    

Понятие предела функции

#1 

#2  

#3 (асимпота)

#4 

#5  (предел слева); (предел справа)

 

 разрыв второго рода

#6 

I. Предел функции на бесконечности

Пусть , где n и m – степени многочленов.

;

   степени

 

   0 const

 

В этом случае делим числитель на знаменатель и знаменатель на наивысшую степень, входящую в дробь.

II. Предел функции к точке

1)

а) не корень  и не корень

Тогда необходима непосредственная подстановка значения предела в функцию:

б)  – корень числителя, но не корень знаменателя

г)  – корень числителя и корень знаменателя

– неопределенность

Разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя по теореме Безу для сокращения дроби.

Замечание: Иногда перед сокращением, целесообразно предварительно многочлен разложить на множители, применяя способ группировки или формулы сокращенного умножения.

#

Иногда удобнее внести замену переменных:

   

   

2) – дробь, содержащая иррациональное выражение (корни). Полезно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот, а затем после преобразования, дробь сократить.

 

а) Иррациональность в знаменателе

б) Иррациональность в числителе

в) Иррациональность и в числителе, и в знаменателе

3) Раскрытие неопределенности типа   и  

При помощи алгебраический преобразований (приведения дробей к общему знаменателю, освобождения от иррациональностей и т.д.), неопределенности всегда сводятся к уже известным неопределенностям  и

а)

  ;  

 

 

б)

Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень

Первый замечательный предел

  

#   

#

#   

Второй замечательный предел

I)  II) 

– экспонента

# 

 

 

# 

Задача. Даны многочлен f(x) и матрица А: 

Задача. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.

Матрицы и определители. Понятие матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, единичная, диагональная). Равенство матриц. Действия над матрицами (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц, транспонирование матриц). Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. Минор и алгеброическое дополнение. Обратная матрица и ее вычисление.

Основы дифференцирования Функцией называется непрерывной, если в каждой своей точке из области определения, данная функция будет иметь производную.


Возрастание и убывание функции