Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Функции в экономике Дифференцирование сложной функции Исследование функций и построение графиков Локальный экстремум функции Векторное пространство Элементы теории вероятностей Экономический анализ транспортных задач http://villaderoses.com/2015/11/futbolki-

Математический анализ. Контрольная работа

Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции

Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, доказательство которой мы опускаем.

ТЕОРЕМА 2. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой монотонности, т.е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касательных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

Точки локального экстремума

Определение 1. Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x0 в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x0) > f(х) (f(x0) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локального экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x0) = 0.

Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а значит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x0 — точка возможного экстремума, т.е. f'(x0) = 0, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x3 (рис. 3.1) производная при х = 0 равна нулю, однако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 5.3 не является достаточным условием существования локального экстремума.

ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x0.

Рассмотрим применение доказанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций.

Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f(x) = х3 — 7,5x2 + 18x.

Решение. Сначала находим производную f'(x) = 3x2 — 15x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х2 — 5х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x1 =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x2 = 3 функция f'(х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 5.3). Поскольку f'(x) > 0 при х  (-,2), то в силу теоремы 5.2 функция монотонно возрастает на этом интервале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f(x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, +) функция монотонно возрастает (f'(x) > 0).

Пример 2. Найти размеры консервной банки, имеющей форму цилиндра (радиус r и высоту h) заданного объема V, при которых полная поверхность сосуда будет минимальной. Эта задача имеет производственный смысл: найти оптимальные размеры банки, при которых затраты материала на ее изготовление будут минимальны.

Решение. Исходя из формулы объема цилиндра V = πr2h, выразим h:

Как известно, полная поверхность цилиндра дается формулой

Подставляя сюда формулу для h, получаем S как функцию от r:

Минимум этой функции найдем из условия S' (r) = 0, откуда получаем уравнение 2r — V / π r2 = 0. Из этого уравнения находим оптимальное значение r; его подставляем в формулу для h и окончательно вычисляем оптимальные размеры банки:

Например, при V = 0,33 л оптимальные размеры банки составят: диаметр дна ≈ 7,5 см и высота ≈ 7,5 см.

Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение 2. Будем говорить, что график функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b) (рис. 5.4).

Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказательства.

ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 3. Точка М(x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. "перегибается" через нее (рис. 5.5).

ТЕОРЕМА 6. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)) и функция f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную. Тогда

Отметим, что не всегда условие f"(x0) = 0 означает наличие точки перегиба на графике функции у = f(x). Например, график функции у = x2n (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (5.8) является только необходимым условием перегиба. Точки графика, для которых условие (5.8) выполнено, будем называть критическими. В каждой такой точке необходимо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.

ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть в некоторой окрестности точки x0 вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x0. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x0, f(x0)).

Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в некоторой окрестности точки x0 за исключением самой точки x0 и существует касательная к графику функции в точке М. Например, функция f(x) = x1/3 в точке х = 0 имеет бесконечные производные; в точке O(0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале координат, поскольку вторая производная f"(x) = -2 /(9x5/3) имеет разные знаки слева и справа от точки х = 0 (рис. 5.6). Рассмотрим примеры: найти точки перегиба и направления выпуклости графиков следующих функций.

Пример 3. f(x) = ехр (-x2).

Решение. Последовательно находим f'(x)= -2x exp(—x2), f"(x) = 2 exp (-x2)(2x2 — 1). Приравнивая вторую производную к нулю, получаем критические точки х = ±1/. Ввиду зависимости функции от х2 достаточно исследовать точку x = l/. Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, на левой ветви функции точка M1(-1 / , e-1/2) является точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 5.7). На правой ветви в точке перегиба М2(1/, е-1/2) графика функции имеет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.

Пример 4. f(x) = ln (х2 – 2x + 2).

РHешение. Вторая производная равна . Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки x1 = 0, x2 = 2. Несложный анализ квадратного трехчлена х(2 — х), стоящего в числителе второй производной и определяющего ее знак, показывает, что точка перегиба M1 (0, ln 2) графика функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в другой точке перегиба М2 (2, ln2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.

Асимптоты графика функции

Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые называются асимптотами. Неограниченность приближения графика функции к асимптоте означает, что расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 4. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или  f(x) равно + или -.

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Например, график функции у = е1/x имеет вертикальную асимптоту х = 0, так как f(x)   при х  0+.

Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х  ±, если f(x) можно представить в виде

где α(х)  0 при х  ±.

Это определение относится как к наклонной, так и к горизонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k в (5.9) равен нулю.

Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравнении наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.9) на x и перейдя к пределу при х , получим

т.е. k = . Затем из равенства (5.9) находим:

Рассмотрим примеры: найти асимптоты графиков функций.

Пример 5. f(x) = .

Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

Затем находим наклонные асимптоты:

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

Пример 6. f(x) = х + e-x.

Решение. Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Отыщем наклонную асимптоту:

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

Схема исследования графика функции Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.

Предельные показатели в микроэкономике Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.

Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Условия существования определенного интеграла


Алгебра и аналитическая геометрия